Les intervalles réels sont des parties de l'ensemble
des réels nombres réels R.
Leur représentation sur la droite numérique est un segment ou une droite dont les
extrémités peuvent être exclues. C'est d'ailleurs ce qui fait qu'un intervalle est
ouvert ou fermé.Les différents types d'intervalles.
Dans le tableau ci-dessous, a et b sont deux réels tels que a £
b.
| Notation |
Représentation sur la droite réelle |
Ensemble des réels x tels que |
Appellation |
| [a ; b] |
 |
a £ x £ b |
Intervalle fermé borné |
| [a ; b[ |
 |
a £ x < b |
Intervalle borné semi-fermé en a et
semi-ouvert en b (ou semi-fermé à gauche et semi-ouvert à droite) |
| ]a ; b] |
 |
a < x £ b |
Intervalle borné semi-ouvert en a et
semi-fermé en b (ou semi-ouvert à gauche et semi-fermé à droite) |
| ]a ; b[ |
 |
a < x < b |
Intervalle ouvert borné. |
| ]-¥ ; b] |
 |
x £ b |
Intervalle non borné fermé en b (ou
fermé à droite) |
| ]-¥ ; b[ |
 |
x < b |
Intervalle non borné ouvert en b (ou
ouvert à droite) |
| [a ; +¥ [ |
 |
a £ x |
Intervalle non borné fermé en a (ou
fermé à gauche) |
| ]a ; +¥ [ |
 |
a < x |
Intervalle non borné ouvert en a (ou
ouvert à gauche) |
Quelques remarques sur ce tableau :
® La notation {x tels que a < x < b} désigne
l'ensemble des réels x tels que a < x < b (sous-entendu qui sont strictement plus
grand que a et strictement inférieur à b).
® Le fait de dire qu'un intervalle est par exemple ouvert
en b signifie que le réel b ne fait pas partie de celui-ci. Par contre, s'il y avait
été fermé alors il en aurait fait partie.
® Les deux réels qui délimitent un intervalle sont
appelés bornes de l'intervalle.
® La notation +¥ se lit
"plus l'infini". Contrairement à ce que l'on pourrait croire, +¥ n'est pas un nombre. C'est juste un symbole pour désigner le
"bout positif et infiniment grand" de l'ensemble des réels. C'est une sorte
d'horizon...
® La notation -¥ se lit elle
"moins l'infini".
Histoire de crochets.
On parle souvent de crochet ouvrant ou de crochet fermant. Expliquons ce qu'il en est.
® Un crochet est ouvert lorsqu'il fait le dos à sa borne.
Il indique que celle-ci ne fait pas partie de l'intervalle.
| La borne 2 ne fait pas partie de l'intervalle
] 2 ; 5]. |
La borne 7 ne fait pas partie de l'intervalle
] 1 ; 7 [. |
Aux infinis ( en -¥ et +¥
), le crochet est toujours ouvert.
® Un crochet fermé est un crochet qui s'ouvre sur sa
borne. Il indique qu'elle fait partie de l'intervalle.
Un crochet qui n'est pas ouvert est nécessairement fermé.
Dans la notation d'intervalle comme dans la représentation sur la droite réelle, un
crochet ouvrant indique que la borne ne fait pas partie de l'intervalle alors qu'un
crochet fermant l'y inclut.
|