FONCTION AFFINE:   f(x) = ax  + b    ou        f: x ------> ax  + b       page 3                                                                                                      
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DEFINITION
           
Définition : Une fonction affine f est une fonction de la forme f(x) = ax + b
où a et b sont deux nombres connus.
x est ce que l'on appelle la variable : elle peut prendre n'importe quelle valeur.

Au nombre x, la fonction f associe le nombre a.x + b

Par exemple :

  • La fonction f(x) = 2x - 1 est une fonction affine.
    Ici a = 2 et b = -1.
  • La fonction g(x) = -7x + 1 est aussi une fonction affine.
    Ici a = -2 et b = 1.
  • La fonction h(x) = 15,2 est aussi une fonction affine.
    Ici a = 0 et b = 15,2 car on peut écrire que h(x) = 0 × x + 15,2

Par contre :

  • La fonction k(x) = 3x2 + 2x - 1 n'est pas une fonction affine car dans son expression il y a un terme en x2.
    C'est une fonction du second degré...
Les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières : avec un b nul.

Par exemple :

  • La fonction f(x) = 2x est une fonction linéaire.
    Ici a = 2.
    C'est aussi une fonction affine.
  • La fonction g(x) = -7x est aussi une fonction linéaire. Elle est donc affine.
    Ici a = -7.

Par contre :

  • La fonction k(x) = -1 n'est pas une fonction linéaire. Elle est cependant affine.
    Dans le cas présent, nous n'avons pas : quelque chose × x

Image et antécédent.


Dans les fonctions que nous venons de voir, il y a la variable x. Si l'on remplace cette variable x par un nombre quelconque, on calcule l'image de ce nombre par la fonction f.
Quand on fait le chemin inverse, on calcule des antécédents.
Image d'un nombre par une fonction.
L'image d'un nombre x par une fonction f est le nombre f(x) qui lui est associé par cette fonction f.
On considère la fonction affine f(x) = 2x - 1.
  • Calculons l'image de 3 par la fonction f.
    Il s'agit en fait de calculer la valeur prise f(x) lorsque x = 3.
    Il s'agit donc de remplacer x par 3 dans l'expression de f.
f(3)= 2 × (3) - 1
= 6 - 1
= 5

L'image de 3 par la fonction f est donc égal à 5.
  • Calculons f(-7).
    Autrement écrit, nous devons calculer l'image de -7 par f.
    Il n'y a aucune difficulté : nous allons faire comme précédemment. Nous allons remplacer x par 3 dans l'expression de f.
f(-7)= 2 × ( ) - 1
= - 1
= -15 L'image de par la fonction f est donc égal à .
Antécédent d'un nombre par une fonction.
Un antécédent d'un nombre y par une fonction f est un nombre x dont l'image f par est égale à y. C'est-à-dire tel que y = f(x).

On considère la fonction affine f(x) = 2.x - 1.

  • Déterminons le ou les antécédents de 7 par f.
    Nous devons donc déterminer le ou les nombres x qui ont pour image 7.
    Autrement écrit, il nous faut trouver les x tels que f(x) = 7.
    Pour cela, nous devons résoudre l'équation f(x) = 7 où l'inconnue est x.

f(x)
2.x - 1
2.x
x

= 7
= 7
= 8
= 8/2 = 4

Le seul antécédent de 7 par la fonction f est donc x = 4.

Note : la notion d'antécédent n'est pas toujours au programme . Mais il est utile de la connaître...